Pembahasan Himpunan Matematika Lengkap

Teori himpunan

Relasi himpunan

Macam-macam himpunan

Himpunan kosong

Himpunan semesta

Himpunan kuasa

Himpunan bagian

Komplemen himpunan

Hubungan antar himpunan

Himpunan gabungan

Operasi himpunan

Himpunan diagram venn

Contoh himpunan

Soal-soal himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918) Benda yang termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.

Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan:

Kelompok hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing

Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik.

Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan:

Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.

2. Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z.  Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh  :

A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

3. Menyatakan Suatu Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara:

a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis     P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh:

P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x < 40, x ∈ bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal {....}, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma ( - ).

Contoh :

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Contoh :

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.

a. Dinyatakan dengan kata-kata.

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

Z = {20 < x < 46, x ∈ bilangan ganjil}

c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

4. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.

Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}., n(A) = 5

Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Contoh :  B = {1, 2, 3, ...}., n(B) = ∞

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. 

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan 

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan 

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .

d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan

Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan

Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan

.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Sekian saja sedikit materi kali ini tentang himpunan matematika. Sampai bertemu kembali di blog-blog berikutnya dari kami.